巩固 | 最全面的算法复杂度分析

前言

这是 2019 年 1 月 20 日的一篇文章，之所以今天重新发一遍，因为我觉得算法的复杂度分析是入门算法的一个基本功。有句话说的好，“练武不练功，到老一场空”。我也是正好温习了一遍，如果不经常用，我也有遗忘的时候。

另外一点就是，以往看似不多的一篇动画技术文章，它的写作和制作非常耗时间的，这个时间会超出你的想象。我个人初心是不想匆匆撩草的完成一篇文章，然后发到公众号，这对我和你来说是不负责任的。

所以我还是选择留出多一点时间好好去写，然后把图设计的更易懂些，不求一天一更，只求每篇文章拿出我最好的状态来分享。

1、数据结构是用来干嘛的？

数据结构与算法的诞生是让计算机「执行的更快」、「更省空间」的。

2、用什么来评判数据结构与算法的好坏？

从「执行时间」和「占用空间」两个方面来评判数据结构与算法的好坏。

3、什么是复杂度？

用「时间复杂度」和「空间复杂度」来描述性能问题，两者统称为复杂度。

4、复杂度描述了什么？

复杂度描述的是算法执行时间（或占用空间）与数据规模的增长关系。

1、和性能分析相比有什么优点？

辅助度分析有不依赖执行环境、成本低、效率高、易操作、指导性强的特点。

2、为什么要复杂度分析？

复杂度描述的是算法执行时间（或占用空间）与数据规模的增长关系。

1、什么方法可以进行复杂度分析？

方法：「大 O 表示法」

2、什么是大 O 表示法？

算法的「执行时间」与每行代码的「执行次数」成正比【T(n) = O(f(n)) 】=》其中T(n)表示算法执行总时间，f(n)表示每行代码执行总次数，而n往往表示数据的规模。

3、大 O 表示法的特点？

由于时间复杂度描述的是算法执行时间与数据规模的增长变化趋势，常量阶、低阶以及系数实际上对这种增长趋势不产决定性影响，所以在做时间复杂度分析时忽略这些项。

4、复杂度分析法则

• [单段代码看频率]：看代码片段中「循环代码」的时间复杂度。

• [多段代码看最大]：如果多个 for 循环，看「嵌套循环最多」的那段代码的时间复杂度。

• [嵌套代码求乘积]：循环、递归代码，将内外嵌套代码求乘积去时间复杂度。

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时间复杂度

1、什么是复杂度？

所有代码的「执行时间 T(n)」 与每行代码的「执行次数n」 成正比【T(n) = O(f(n)) 】。

2、分析的三个方法

■ 最多法则

忽略掉公式中的常量、低阶、系数，取最大循环次数就可以了，也就是循环次数最多的那行代码。

Example

1// 求n个数字之和
2int xiaolu(int n) {
3   int sum = 0;
4   for (int i = 1; i <= n; ++i) {
5     sum = sum + i;
6   }
7   return sum;
8 }

分析

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第二行是一行代码，也就是常量级别，与 n 没有关系，可以忽略，四、五行代码是我们重点分析对象，与 n 有关，时间复杂度就是反映执行时间和 n 数据规模的关系。求 n 个数据之和需要执行 n 次。所以时间复杂度为 O(n)。

■ 加法法则

总复杂度等于循环次数最多的那段复杂度。

Example

 1int xiaolu(int n) {
 2   int sum = 0;
 3   //循环一
 4   for (int i = 1; i <= 100; j++) {
 5     sum = sum + i;
 6   }
 7   //循环二
 8   for (int j = 1; j <= n; j++) {
 9      sum = sum + i;
10   }
11 }

分析

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上边有两个循环，一个循环 100 次，另一个循环 n 次，我们选择循环次数最多的那一个且和「数据规模 n 」相关的循环。由上可知，我们很容易选出循环二，即和数据规模 n 有关，循环次数最多，循环次数最多的那段代码时间复杂度就代表总体的时间复杂度，为 O(n) ;

■ 乘法法则

当我们遇到嵌套的 for 循环的时候，怎么计算时间复杂度呢？那就是内外循环的乘积。

Example

1 for (int j = 1; j <= n; j++) {
2     for(int i = 1; i <= n; i++)
3     sum = sum + i;
4 }

分析

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外循环一次，内就循环 n 次，那么外循环 n 次，内就循环 n*n 次。所以时间复杂为 O(n²)。

空间复杂度

1、什么是空间复杂度？

表示算法的「存储空间」与「数据规模」之间的增长关系

Example

 1int xiaolu(int n) {
 2   int sum = 0;
 3   //循环一
 4   for (int i = 1; i <= 100; j++) {
 5     sum = sum + i;
 6   }
 7   //循环二
 8   for (int j = 1; j <= n; j++) {
 9      sum = sum + i;
10   }
11 }

分析

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在所有代码中，我们很容易寻找到存储空间相关的代码，就是第二行，申请了一个 常量级别 大小的存储空间，所以空间复杂度为 O(1)。

2、最常见的空间复杂度

O(1)、O(n)、O(n²)。

■ O(1)

常量级的时间复杂度表示方法，无论是一行代码，还是多行，只要是常量级的就用 O(1) 表示。

Example

1int i = 1;
2int j = 2;
3int sum = i + j;

分析

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因为这三行代码，也就是常量级别的代码不随 n 数据规模的改变而改变。（循环、递归除外）

■ O(logn) | O(nlogn)

「对数阶时间复杂度」，最难分析的一种时间复杂度。

Example

1 i=1;
2 while (i <= n)  {
3   i = i * 3;
4 }

分析

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要求这段代码的时间复杂度就求这段代码执行了多少次，看下图具体分析。

补充

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不管是以 2 为底、以 3 为底，还是以 10 为底，可以把所有对数阶的时间复杂度都记为 O(logn)，因为对数之间可以转换的，参照高中课本。

*■ O(m+n) | O(mn)**

参照上边讲到的加法和乘法法则。

1、最好、最坏时间复杂度

所谓的最好、最坏时间复杂度分别对应代码最好的情况和最坏的情况下的执行。

Example

1 //在一个 array 数组中查找一个数据 a 是否存在
2for (int i = 1; i < n; i++) {
3    if (array[i] == a) {
4       return i;
5    }
6 }

分析：

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1、最好情况就是数组的第一个就是我们要查找的数据，上边代码之执行一遍就可以，这种情况下的时间复杂度为最好时间复杂度，为 O(1)。

2、最坏的情况就是数组的最后一个才是我们要查找的数据，需要循环遍历 n 遍数组，也就对应最坏的时间复杂度为 O(n) 。

2、平均时间复杂度

平均时间复杂度需要借助概率论的知识去分析，也就是我们概率论中所说的加权平均值，也叫做期望值。

分析

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比如上方的例子，假设我们查找的数据在数组中的概率为 1/2；出现在数组中的概率为 n/1,根据下边的公式就可以算出出现的概率为 1/2n 。

然后我们再把每种情况考虑进去，就可以计算出平均时间复杂度。

3、均摊时间复杂度

■什么是均摊时间复杂度？

比如我们每 n 次插入数据的时间复杂度为 O(1)，就会有一次插入数据的时间复杂度为 O(n)，我们将这一次的时间复杂度平均到 n 次插入数据上，时间复杂度还是 O(1)。

■ 摊还分析

比如我们每 n 次插入数据的时间复杂度为 O(1)，就会有一次插入数据的时间复杂度为 O(n)，我们将这一次的时间复杂度平均到 n 次插入数据上，时间复杂度还是 O(1)。

■ 适用场景

一般应用于某一数据结构，连续操作时间复杂度比较低，但是个别情况时间复杂度特别高，我们将特别高的这一次进行均摊到较低的操作上。

■ 几种复杂度性能对比